مشتق تابع گامای اویلر (Digamma function)

سایت درسی

Digamma

DigammaReImAbs

یک تابع خاص است که به واسطه ی مشتق لگاریتمی (logarithmic derivative) تابع گاما (gamma function) داده می شود (یا، بنابر اقتضای تعریف، مشتق لگاریتمی فاکتوریل).

به خاطر این ابهام و گنگی در تعریف، دو نوع نمادگذاری متفاوت غالباْ (نه همیشه) مورد استفاده قرار می

گیرد، اولی

به صورت مشتق لگاریتمی تابع گاما و دومی به شکل

مشتق لگاریتمی تابع فاکتوریل تعریف می شود. این دو به وسیله ی رابطه ی

به هم مرتبط می شوند.

امین مشتق تابع چندگاما (polygamma function) نامیده و با نشان داده می شود. لذا نمادگذاری

به طور رایج برای خود تابع دی گاما بکار می رود و (Erdélyi et al. (1981 از برای استفاده می کند.

تابع دی گاما در سری های ساده ای مانند زیر ظاهر می شود:

که در آن مافوق لرچ (Lerch transcendent) است.

موارد خاص عبارت اند از

قضیه ی دی گامای گائوس (Gauss"s digamma theorem) می گوید که

(Allouche 1992, Knuth 1997, p. 94).

بسط مجانبی (asymptotic expansion) برای تابع دی گاما به صورت زیر ارائه می شود:

d/(dz)lim_(n- onload= infty)[lnn!+zlnn-ln(z+1)-ln(z+2)-...-ln(z+n)]" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline30.gif" width=345 border=0>

lim_(n- onload= infty)(lnn-1/(z+1)-1/(z+2)-...-1/(z+n))" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline33.gif" width=221 border=0>

که ثابت اویلر ماشرونی (Euler-Mascheroni constant) و اعداد برنولی (Bernoulli numbers) هستند.

تابع دی گاما در رابطه ی مهم زیر صدق می کند:

که برای عدد صحیح ،

که ثابت اویلر ماشرونی (Euler-Mascheroni constant) و یک عدد هارمونیک یا همساز (harmonic number) است.

دیگر اتحادهایی که این تابع در آنها شرکت دارد، عبارت اند از:

مقادیر ویژه برابراند با

در مقادیر صحیح،

Derbyshire 2003, p. 58). و در مقادیر نیمه انتگرالی داریم:

که در آن یک عدد هارمونیک یا همساز (harmonic number) است.

با استفاده از انتگرال مربع واحد (unit square integral) برای u onload= 0" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DigammaFunction/Inline67.gif" width=30 border=0> نیز می توان این تابع را ظاهر کرد:

(Guillera and Sondow 2005). وارد کردن در این معادله حالت خاص شامل (Euler-Mascheroni constant) را بدست می دهد.

سری منتسب به به شکل زیر است:

یک سری لگاریتمی از تابع اخیر داریم که صورت زیر را داراست:

(Guillera and Sondow 2005). یک اتحاد شگفت انگیز که از سری فاکس ترات (FoxTrot series) ناشی می شود عبارت است از

منابع:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Psi (Digamma) Function." §6.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 258-259, 1972.

Allouche, J.-P. "Series and Infinite Products related to Binary Expansions of Integers." 1992. http://algo.inria.fr/seminars/sem92-93/allouche.ps.

Arfken, G. "Digamma and Polygamma Functions." §10.2 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 549-555, 1985.

Boros, G. and Moll, V. "The Psi Function." §10.11 in Irresistible Integrals: Symbolics, Analysis and Experiments in the Evaluation of Integrals. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 212-215, 2004.

Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. New York: Penguin, 2004.

Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. "The Function." §1.7 in Higher Transcendental Functions, Vol. 1. New York: Krieger, pp. 15-20, 1981.

Guillera, J. and Sondow, J. "Double Integrals and Infinite Products for Some Classical Constants Via Analytic Continuations of Lerch"s Transcendent." 16 June 2005 http://arxiv.org/abs/math.NT/0506319.

Havil, J. Gamma: Exploring Euler"s Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.

Jeffreys, H. and Jeffreys, B. S. "The Digamma () and Trigamma () Functions." Methods of Mathematical Physics, 3rd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 465-466, 1988.